1. Lemma. Zyklische Gruppen mit unendlich vielen Elementen haben unendlich viele Untergruppen, denn fuer jedes ist eine andere Untergruppe.

   Jetzt zur eigentlichen Aufgabe: Jede unendliche Gruppe hat unendlich viele Untergruppen.

   Proof. Sei , dann ist eine Untergruppe. Im naechsten Schritt waehlen wir ein , sodass . Bemerke, dass . Diesen Prozess wiederholen wir, bis wir eine zyklische Gruppe mit unendlich vielen Elementen finden. In dem Fall wenden wir das obige Lemma an und sind fertig. Finden wir nicht nach endlich vielen Schritten eine zyklische Untergruppe mit unendlich vielen Elementen, generieren wir mit dem Algorithmus unendlich viele endliche Untergruppen.

2. Sei eine abelsche Gruppe, dann ist eine Untergruppe von .

   Proof. Wir zeigen, dass abgeschlossen unter Inversen-Bildung ist. Ist mit , dann ist . Es wir schreiben als Also hat auch endliche Ordnung.

   Es ist noch zu zeigen, dass das Produkt zweier Elemente stets endliche Ordnung hat. Sei wieder und . Wir sehen, dass Also hat endliche Ordnung.

1. Sei eine Gruppe mit Untergruppen . Dann ist eine Untergruppe von , genau dann wenn , oder .

   Proof. Seien . Angenommen ist ein Untergruppe, aber weder noch , dann existiert ein Element mit , sowie ein Element , aber . Angenommen , dann waere , also ist Analog sehen wir, dass . Also ist .

   Ist , dann ist eine Untergruppe. Der Fall ist analog.

2. Seinen echte Untergruppen der Gruppe . Dann ist .

   Proof. Der Fall, wo oder ist trivial. Andernfalls greifen die Ueberlegungen aus Aufgaenteil .

Sei eine endliche Gruppe mit Elementen. Dann wird von geteilt.

Proof. Wir betrachten die Gruppe der bijektiven Abbildungen , die die fixieren. ist eine Untergruppe von und . Aus dem Satz von Lagrange folgt dann direkt: teilt .

Die Gruppe operiert auf der Menge .

1. Sei , . Dann ist .

   Proof. Die Gleichheit folgt direkt aus der Definition des Stabilisators.

2. it genau dann Normalteiler in , wenn fuer alle .

   Proof. ist Normalteiler in , genau dann wenn fuer alle . Wir haben bereits in (a) gesehen, dass . Durch einsetzen von fuer folgt die Behauptung.

Lemma Jede Gruppe der Ordnung ist zyklisch. Proof. Wir wenden die Sylow-Saetze an. Wir sehen, und sind eindeutig. Damit sind und normal und kommutieren. Der Schnitt ist trivial. Sei Erzeuger und Erzeuger, dann ist . Da beide Teilerfremd sind, ist wegen Kommutativitaet und .

Es gibt bis auf Isomomorphie nur eine Grupe mit

Proof. Wegen Sylow-III gibt es genau eine -Sylow Untergruppe von . Nach Satz 3 ist Normalteiler. ist zyklisch und hat Ordung , also ist .

Wir betrachten den Homomorphismus

Das Bild von ist Untergruppe von , also ist Teiler von , und ausserdem (Homomorphiesatz) Teiler von . Damit ist . Also ist .

ist also Teilmenge des Zentrums . Weil Normalteiler ist, ist . ist wegen obigem Lemma zyklisch. Da im Zentrum liegt, ist , nach Aufgabe 3 abelsch.

Als endliche abelsche Gruppe zerfaellt in das Produkt zyklischer Untergruppen . Da und paarweise teilerfremnd sind, ist zyklisch.

Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn zyklisch ist.

( ) trivial.

( ) Sei zyklisch. Dann ist jedes Element von der Form mit . Sei nun mit mit , dann ist

Also ist abelsch. Wir bemerken, dass das Argument auch fuer zentrale Normalteiler funktionert.

Sei ein kommutativer Ring, und ein Primideal. Sei , sodass , dann ist

Proof. Da Primideal ist, und , ist oder . Ist , sind wir fertig. Ansonsten wiederholen wir dieses Argument fuer . Spaetestens bei sind wir dann fertig, denn .

Frage: Benutzen wir hier irgendwo implizit Kommutativitaet, oder ist die Bedingung ueberfluessig?

Sei ein kommutativer Ring. Sei die Menge der Nilpotenten Elemente. ist ein Ideal in .

Proof. Wir zeigen zunaechst, dass eine Untergruppe von ist. Hier ist nur zu zeigen, dass abgeschlossen unter Addition ist. Seien beliebig mit und . Dann ist, wegen des Binomischen Lehrsatzes und der Nilpotenz von und , trust me, also auch Element von .

Wegen der Kommutativitaet von reicht es jetzt zu zeigen, dass ein Linksideal ist. Sei beliebig, dann ist , also ist nilpotent und Element von . Damit ist ein Ideal.

Sei ein kommutativer Ring mit Eins. Sei , dann liegt genau dann in jedem maximalen Ideal, wenn fuer alle invertierbar ist.

Proof. ( ) Sei in jedem maximalen Ideal. Angenommen ist nicht invertierbar, dann waere in einem maximalen Ideal. In diesem Ideal liegt aber schon und damit , also auch . Damit ist das Ideal der ganze Ring, was ein Widerspruch zur Maximalitaet ist. Also ist invertierbar.

( ) Sei invertierbar fuer alle . Sei ein maximales Ideal. Angenommen , dann generiert den ganzen Ring. Also gibt es und , sodass , dann ist aber in . Das ist ein Widerspruch zur invertierbarkeit von . Also liegt in jedem maximalen Ideal.