Lemma Jede Gruppe der Ordnung ist zyklisch. Proof. Wir wenden die Sylow-Saetze an. Wir sehen, und sind eindeutig. Damit sind und normal und kommutieren. Der Schnitt ist trivial. Sei Erzeuger und Erzeuger, dann ist . Da beide Teilerfremd sind, ist wegen Kommutativitaet und .

Es gibt bis auf Isomomorphie nur eine Grupe mit

Proof. Wegen Sylow-III gibt es genau eine -Sylow Untergruppe von . Nach Satz 3 ist Normalteiler. ist zyklisch und hat Ordung , also ist .

Wir betrachten den Homomorphismus

Das Bild von ist Untergruppe von , also ist Teiler von , und ausserdem (Homomorphiesatz) Teiler von . Damit ist . Also ist .

ist also Teilmenge des Zentrums . Weil Normalteiler ist, ist . ist wegen obigem Lemma zyklisch. Da im Zentrum liegt, ist , nach Aufgabe 3 abelsch.

Als endliche abelsche Gruppe zerfaellt in das Produkt zyklischer Untergruppen . Da und paarweise teilerfremnd sind, ist zyklisch.

Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn zyklisch ist.

( ) trivial.

( ) Sei zyklisch. Dann ist jedes Element von der Form mit . Sei nun mit mit , dann ist

Also ist abelsch. Wir bemerken, dass das Argument auch fuer zentrale Normalteiler funktionert.