[006S]

Sei ein kommutativer Ring. Sei die Menge der Nilpotenten Elemente. ist ein Ideal in .

Proof. Wir zeigen zunaechst, dass eine Untergruppe von ist. Hier ist nur zu zeigen, dass abgeschlossen unter Addition ist. Seien beliebig mit und . Dann ist, wegen des Binomischen Lehrsatzes und der Nilpotenz von und , trust me, also auch Element von .

Wegen der Kommutativitaet von reicht es jetzt zu zeigen, dass ein Linksideal ist. Sei beliebig, dann ist , also ist nilpotent und Element von . Damit ist ein Ideal.