Sei ein kommutativer Ring, und ein Primideal. Sei , sodass , dann ist

Proof. Da Primideal ist, und , ist oder . Ist , sind wir fertig. Ansonsten wiederholen wir dieses Argument fuer . Spaetestens bei sind wir dann fertig, denn .

Frage: Benutzen wir hier irgendwo implizit Kommutativitaet, oder ist die Bedingung ueberfluessig?

Sei ein kommutativer Ring. Sei die Menge der Nilpotenten Elemente. ist ein Ideal in .

Proof. Wir zeigen zunaechst, dass eine Untergruppe von ist. Hier ist nur zu zeigen, dass abgeschlossen unter Addition ist. Seien beliebig mit und . Dann ist, wegen des Binomischen Lehrsatzes und der Nilpotenz von und , trust me, also auch Element von .

Wegen der Kommutativitaet von reicht es jetzt zu zeigen, dass ein Linksideal ist. Sei beliebig, dann ist , also ist nilpotent und Element von . Damit ist ein Ideal.

Sei ein kommutativer Ring mit Eins. Sei , dann liegt genau dann in jedem maximalen Ideal, wenn fuer alle invertierbar ist.

Proof. ( ) Sei in jedem maximalen Ideal. Angenommen ist nicht invertierbar, dann waere in einem maximalen Ideal. In diesem Ideal liegt aber schon und damit , also auch . Damit ist das Ideal der ganze Ring, was ein Widerspruch zur Maximalitaet ist. Also ist invertierbar.

( ) Sei invertierbar fuer alle . Sei ein maximales Ideal. Angenommen , dann generiert den ganzen Ring. Also gibt es und , sodass , dann ist aber in . Das ist ein Widerspruch zur invertierbarkeit von . Also liegt in jedem maximalen Ideal.