[006T]

Sei ein kommutativer Ring mit Eins. Sei , dann liegt genau dann in jedem maximalen Ideal, wenn fuer alle invertierbar ist.

Proof. ( ) Sei in jedem maximalen Ideal. Angenommen ist nicht invertierbar, dann waere in einem maximalen Ideal. In diesem Ideal liegt aber schon und damit , also auch . Damit ist das Ideal der ganze Ring, was ein Widerspruch zur Maximalitaet ist. Also ist invertierbar.

( ) Sei invertierbar fuer alle . Sei ein maximales Ideal. Angenommen , dann generiert den ganzen Ring. Also gibt es und , sodass , dann ist aber in . Das ist ein Widerspruch zur invertierbarkeit von . Also liegt in jedem maximalen Ideal.