1. Lemma. Zyklische Gruppen mit unendlich vielen Elementen haben unendlich viele Untergruppen, denn fuer jedes ist eine andere Untergruppe.

   Jetzt zur eigentlichen Aufgabe: Jede unendliche Gruppe hat unendlich viele Untergruppen.

   Proof. Sei , dann ist eine Untergruppe. Im naechsten Schritt waehlen wir ein , sodass . Bemerke, dass . Diesen Prozess wiederholen wir, bis wir eine zyklische Gruppe mit unendlich vielen Elementen finden. In dem Fall wenden wir das obige Lemma an und sind fertig. Finden wir nicht nach endlich vielen Schritten eine zyklische Untergruppe mit unendlich vielen Elementen, generieren wir mit dem Algorithmus unendlich viele endliche Untergruppen.

2. Sei eine abelsche Gruppe, dann ist eine Untergruppe von .

   Proof. Wir zeigen, dass abgeschlossen unter Inversen-Bildung ist. Ist mit , dann ist . Es wir schreiben als Also hat auch endliche Ordnung.

   Es ist noch zu zeigen, dass das Produkt zweier Elemente stets endliche Ordnung hat. Sei wieder und . Wir sehen, dass Also hat endliche Ordnung.

1. Sei eine Gruppe mit Untergruppen . Dann ist eine Untergruppe von , genau dann wenn , oder .

   Proof. Seien . Angenommen ist ein Untergruppe, aber weder noch , dann existiert ein Element mit , sowie ein Element , aber . Angenommen , dann waere , also ist Analog sehen wir, dass . Also ist .

   Ist , dann ist eine Untergruppe. Der Fall ist analog.

2. Seinen echte Untergruppen der Gruppe . Dann ist .

   Proof. Der Fall, wo oder ist trivial. Andernfalls greifen die Ueberlegungen aus Aufgaenteil .

Sei eine endliche Gruppe mit Elementen. Dann wird von geteilt.

Proof. Wir betrachten die Gruppe der bijektiven Abbildungen , die die fixieren. ist eine Untergruppe von und . Aus dem Satz von Lagrange folgt dann direkt: teilt .

Die Gruppe operiert auf der Menge .

1. Sei , . Dann ist .

   Proof. Die Gleichheit folgt direkt aus der Definition des Stabilisators.

2. it genau dann Normalteiler in , wenn fuer alle .

   Proof. ist Normalteiler in , genau dann wenn fuer alle . Wir haben bereits in (a) gesehen, dass . Durch einsetzen von fuer folgt die Behauptung.