Infinite Groups have infinitely many Subgroups [006W]

Lemma. Zyklische Gruppen mit unendlich vielen Elementen haben unendlich viele Untergruppen, denn fuer jedes ist eine andere Untergruppe.

Jetzt zur eigentlichen Aufgabe: Jede unendliche Gruppe hat unendlich viele Untergruppen.

Proof. Sei , dann ist eine Untergruppe. Im naechsten Schritt waehlen wir ein , sodass . Bemerke, dass . Diesen Prozess wiederholen wir, bis wir eine zyklische Gruppe mit unendlich vielen Elementen finden. In dem Fall wenden wir das obige Lemma an und sind fertig. Finden wir nicht nach endlich vielen Schritten eine zyklische Untergruppe mit unendlich vielen Elementen, generieren wir mit dem Algorithmus unendlich viele endliche Untergruppen.

Sei eine abelsche Gruppe, dann ist eine Untergruppe von .

Proof. Wir zeigen, dass abgeschlossen unter Inversen-Bildung ist. Ist mit , dann ist . Es wir schreiben als Also hat auch endliche Ordnung.

Es ist noch zu zeigen, dass das Produkt zweier Elemente stets endliche Ordnung hat. Sei wieder und . Wir sehen, dass Also hat endliche Ordnung.