Course. Surreale Zahlen - Eine Welt der Exoten [006K]

    Surreal numbers thing ———————

    Hot take: Surreale Zahlen sind eine Sprache, die zwischen Spielen, Ordinals, Reals und … uebersetzen kann.

    Krass

    • Abitrary Unendlichekit
    • Körper
    • Totally Ordered
    • Universal Property (maximal totally ordered field)
    • Können ALLES darein einbetten => Vergleichen
    1. Es ist verblueffend wie aus zwei einfachen Regel so eine schoene Welt waechst. (Es ist schoen , vielleicht auch ohne anspruch an nuetzlichkeit)
    2. Unified theory
    3. Comparison of different games

    1

    Meta-Orga ———

    Hallo Wenn ihr Probleme / Anmerkungen habe, kommt zu uns oder Vertrauenspersonen. Was erwartet ihr von dem Kurs? Mathematischer Hintergrund

    maybe telefonnummern geben?

    0, 1, −1 => Rumspielen -> Sollen darauf kommen, das man schaut, was die Werte von Positionen sind, auf die man das Spiel überführen kann Versch positionen

    Rot,Blau => 1/2 Positonen-Baum

    Wir geben vor, was 0, 1, −1 ist. Daraus +, dass Spiele eine additive Gruppe sein sollen finden Teilis 1/2 n, n/(2^m).

    Raetsel : "Finde ein Spiel mit Wert 1/3" –> Idee: Leute sehen, dass sie da beliebig nah dran kommen. Raetsel: "Finde ein Spiel, was keine relle Zahl ist" Raetsel: "Find ein positives Spiel < als alle reellen Zahlen"

    Raetsel: Mit Omega herum experimentieren -> Obwohl unendlich nur endlich langes Spiel (Wert von Omega vs 2 Omega / Was ist > Omega / Omega - Omega?)

    Grüne sachen => Grüne Felix Blume 0 < up < …. Raetsel: Ist Felix Blume oder 1/omega größer => Stängel

    Maybe Definition : n,m sind vergleichbar wenn n-m immer von G oder immer von B gewonnen werden kann. Raetsel: Was ist Stern + Stern, Stern + 2 Stern? Nim Addition Table (5+4=1) Raetsel : (Präfix: Ständel nicht vergleichbar mit 0 -> Ausbreiten mit größerem Raum) n < m. Finde ein Spiel, dass sicher groesser als n ist. Nicht vergleichbar mit k ist, fuer n < k < m, sicher kleiner als m ist.

    2

    Konstruktion von "ueblichen" Zahlen

    • Natural (Peano)

      • kurz Induktion

      Frage: Was ist 2+2? => Wie definiert man..

      • Arithmetik
    • Whole
    • Real (Dedekind Schnitte) - mit Präfix: Nicht so wichtig, nur als Intuition / Denkanstoß

    Neuere Konstruktionen

    • Ordinal Numbers (Anfangen mit von-Neuman)

      • Ordered
      • Descend Property (Deshalb interessant?)
      • Damit macht infinite Hackenbush sinn
      • "nicht nur endliche Zahlen sind sinnvoll"
      • Transfinite Induktion (Descent Property, Definitions)

    • Surreal Numbers

      • Tag 0, Tag 1, …. Definition (rechts/links) => anschalich an Hackenbush

      • Wenn wir Braum haben, dann koennten wir auch map from beginning segement of ordinals to +-1 machen fuer links oder rechts abbiegen. -> Fragen die entstehen : Wie waere dann addition, multiplikation etc hier definiert

      • Welchen Wert habe eine random surreale Zahl? "Finding the correct number is simplicity itself"

      • Was ist mit abitrary Games (Was ist mit Gruen?)

    3

    Frage: Verallg. Reelle Zahlen?

    • Addition, Negation (Fokus auf Herstellung aus vorher entstandenen Zahlen)
    • Multiplikation… mit natürlichen /ganzen Zahlen

    Raetsel: Binärdarstellung Stack Raetsel: Wie teilt man einen Stack durch 2? => Es gibt keine tolle grafische Regel (units und nachkommastellen und separat)

    • Formale Definition (mit transfiniter Induktion)
    • evt. prüfen, dass es Definition erfüllt
    • Zu tedious – nicht machen: (Raetsel : Finde zu allg. Zahl ein inverses.)
    • Es gibt Inverse => Körper; aber nicht schön

    Warum machen wir das? Motivation: Ermoeglicht Rechnen mit Zahlen groesser als Omega, die konsistent mit uns bekannter multiplikation ist. andere Motivation: Wir konnten nicht nur die reellen Zahlen in den surrealen recovern, sondern auch noch ihre struktur. –> Haben also einen groesseren Zahlenraum geschaffen ohne Struktur zu verlieren (Sternchen: kein Kontinuum mehr) Antworten:

    • Objekte kennen lernen; damit andere Spiele analysieren können
    • Transfinite Induktion => Anwenden auf konkrete Probleme, wie zB Nim Kreise (Multiplikation definieren)

    DAS ist Mathematk. Wir nehmen irgendwelche Spielregeln. Und spielen. => Wir sollten das irgendwie noch benutzen

    Rätsel: Epsilon mal Omega (sehr toll) ?? Rätsel: Finde ein Bild für Omega x Omega ?? Rätsel: Find ein Bild für 1/2 Omega

    => Wir können damit Alles einbettern, Analysis machen, etc. (Einziges Problem: Sehr viele Zahlen -> nicht die optimale Menge für manche Dinge)

    zB: Hyperreals, Analysis R + Epsilon => Definiere Limits, …

    4

    Only green Hackenbush? = NIM https://math.stackexchange.com/questions/4834066/what-cut-should-be-made-in-a-green-hackenbush-game-after-solving-its-correspondi

    We talked about green Hackenbush.. Lets explore them some more Rätsel: Value of some positions Rätsel: 16+4? (Addition of powers of 2) Rätsel: Somehow get people to see that it is a field mod 2 Frage: Multiplikation?

    Notion: Somehow some n-stars are simpler than others. (1 vs 8)

    Introduce Nim(?)

    Rätsel: Was passiert mit Kreisen? ?Rätsel: Beweis für Kreise? Rätsel/Berechnung: (*Omega)³ = *2 (ansonsten analoges raetsel)

    Circle Collapsing Binary addition

    5

    Cooling Processes

    6

    Puffer: Let people explore what they want. Suggestion:

    • Look at other games (Conway)

    Maybe some Q and A

    6

    Rotation

    • Hackenbush / Nim
    • Spiele sind Zahlen ??
    • Spiele addieren und so werte bestimmen

    => Schienenteilis Rätseln lassen (letzt 5/10 minuten)

    (Feedback)

    Todoooo

    • Cooling process anschauen?
    • Very weak Script.. Rätsel !!!
    • Inhalt

    Narrativ Wir gucken uns spiele an und sehen irgendwie, dass spiele ein bisschen wie Zahlen sind manche spiele (nimbers) sind aber komisch und passen nicht ganz zu unseren "normalen" vorstelung von zahlen. Wenn wir ein bisschen struktur wieder wegnehmen (uns nur rb hackenbusch anschauen), koennen wir vielleicht unsere "Alltagszahlen" recovern, so dass sich alles verhaelt, wie wir es kennen. OKay super, wir finden alle zahlen die wir schon kannten, aber haben sogar noch mehr. Das ist irgendwie toll, weil wir einen allgemeineren Zahlenbegriff gefunden haben

    Was ist, wenn wir jetzt gruen wieder dazu tun? Dann werden dinge komisch, aber wir koennen trotzdem damit arbeiten als waeren es "normale zahlen"

    Rotation

    Feedback

    Random Themen, die wir noch hatten:

    • Funktionen
    • Analysis
    • Cooling Process
    • Formal Definition Game
    • Partial information
    • Other games : childish Hackenbush, Col, cutcake

    Geburtstage feieren

    Probleme ——–

    • Was ist mit Gaps? (was wenn L/R kein set ist?)   Dedekind Schnitte

    Numbers sind Games Wir haben unsere Labormaus: Hackenbush Wollen versch. positionen Zahlen zuordnen

    Formal Definition "Game" see https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&opi=89978449&url=https://figshare.mq.edu.au/ndownloader/files/43233216&ved=2ahUKEwja_MO6oqGRAxUj3AIHHYO3KyMQFnoECBoQAQ&usg=AOvVaw2Os6zAf-dm_K-ycXwrZ1lc

    • each game state has a function that assigns it its prev. game
    • moves are maps from game states to game states
    • a strategie is a set of moves closed under itself (oder so)

    Surreal "Neu"