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Definition. Holomorph [000V]

Sei offen. auf heisst holomorph auf , falls komplex differenzierbar in allen .

heisst in holomorph wenn es eine offene Umgebung um gibt, auf der holomorph ist.

Backlinks

Index. Complex Analysis [000E]

Gebiet
Holomorph

Theorem. Holomorphe Funktionen mit konstanter Norm auf einem Gebiet sind konstant [000S]

Sei ein Gebiet, holomorph mit konstanter Norm. Dann ist konstant.

Proof. ist ein (abgeschlossener) Kreis. Wir verwenden den Satz ueber Gebietstreue (Funktionentheorie 2010, Ingo Lieb S.71). Angenommen nicht konstant, dann ist ein (offenes) Gebiet. Aber ist abgeschlossen.

Theorem. Holomorphe Funktionen bilden einen Ring [003X]

Die Menge der Funktionen, die auf einer offenenen Mengen holomorph sind, bilden einen Ring. Wir bezeichnen ihn mit

Proof. Seien , in komplex differenzierbar. Dann sind und ebenfalls in komplex differenzierbar.

Ist , dann ist auch in differenzierbar. Die einzelnen Beweise verlaufen symbolisch, wie in .

Definition. Biholomorph [003Z]

Wir nennen eine Abildung zwischen offenen Teilmengen von biholomorph, wenn sie bijektiv, holomorph ist und holomorph ist.