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Definition. Quadratfrei [001X]

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Jede natuerliche Zahl hat eine gerade Anzahl quadratfreier Teiler.

Proof. TODO: Primfaktorzerlegung, keine exponenten groesser 1, 2^n Moeglichkeiten.

Proof. Wir bemerken, dass nur quadratfreie Teiler die Summe beeinflussen.

Alle Loesungen mit sind von der Form und beliebig quadratfrei. Proof. Es muessen ungleich sein, sonst waere ihr Produkt nicht quadratfrei. Sei oBdA . Dann koennen wir Equation 1 schreiben als

Aus der Quadratfreiheit von folgt direkt, dass . Aus

folgt und wegen quadratfrei . Schreibe . Analog und Wir erhalten mit

eine strikt kleinere Loesung. Ist oder betragsweise groesser 1, haetten wir eine unendlich absteigende Folge. Also ist Aus folgt dann

kann dann beliebig quadratfrei gewaehlt werden.
Fuer alle moeglichen Parametrisieungen von Equation 1 in a) gibt es eine Loesung mit alle von verschieden. Proof. Sei OBdA , dann ist . Setze . Dann erhalten wir

Da quadratfrei (s.o.) ist, gibt es fuer die Pellsche Gleichung unendlich viele nicht-triviale Loesungen.

Das bedeutet, der Anteil quadratfreier Zahlen geht gegen .

Proof.