« Pell's Equation

Definition. Pell's Equation [0030]

For an integer we call a diophantine equation of the form Pell's equation.

Backlinks

Theorem. has integer solutions iff [001B]

Sei prim. Die Pellsche Gleichung hat ganzzahlige Loesungen genau dann wenn

Proof. ( ) Seien eine Loesung von . Dann ist

( ) TODO

Theorem. Integer solutions for , where square free [002A]

Seien und quadratfrei.

Alle Loesungen mit sind von der Form und beliebig quadratfrei. Proof. Es muessen ungleich sein, sonst waere ihr Produkt nicht quadratfrei. Sei oBdA . Dann koennen wir Equation 1 schreiben als

Aus der Quadratfreiheit von folgt direkt, dass . Aus

folgt und wegen quadratfrei . Schreibe . Analog und Wir erhalten mit

eine strikt kleinere Loesung. Ist oder betragsweise groesser 1, haetten wir eine unendlich absteigende Folge. Also ist Aus folgt dann

kann dann beliebig quadratfrei gewaehlt werden.
Fuer alle moeglichen Parametrisieungen von Equation 1 in a) gibt es eine Loesung mit alle von verschieden. Proof. Sei OBdA , dann ist . Setze . Dann erhalten wir

Da quadratfrei (s.o.) ist, gibt es fuer die Pellsche Gleichung unendlich viele nicht-triviale Loesungen.

Definition. [003V]

Fuer eine gegebene Diskriminante notieren wir

fuer die Loesungngsmenge der verallgemeinerten Pellschen Gleichung.

Theorem. Fundamental Solution of the Pell Equation [004O]

The minimum element of the set is well-defined. We call this element the fundamental solution of the Pell equation and denote it by .

Proof. TODO

Theorem. Loesungen der pellschen Gleichung [004P]

Sei be non-square. Then the solutions of the Pell equation are exactly . where is the fundamental Solution.

Proof. TODO