Theorem. Integer solutions for , where square free [002A]

Seien und quadratfrei.

1. Alle Loesungen mit sind von der Form und beliebig quadratfrei. Proof. Es muessen ungleich sein, sonst waere ihr Produkt nicht quadratfrei. Sei oBdA . Dann koennen wir Equation 1 schreiben als

   Aus der Quadratfreiheit von folgt direkt, dass . Aus

   folgt und wegen quadratfrei . Schreibe . Analog und Wir erhalten mit

   eine strikt kleinere Loesung. Ist oder betragsweise groesser 1, haetten wir eine unendlich absteigende Folge. Also ist Aus folgt dann

   kann dann beliebig quadratfrei gewaehlt werden.

2. Fuer alle moeglichen Parametrisieungen von Equation 1 in a) gibt es eine Loesung mit alle von verschieden. Proof. Sei OBdA , dann ist . Setze . Dann erhalten wir

   Da quadratfrei (s.o.) ist, gibt es fuer die Pellsche Gleichung unendlich viele nicht-triviale Loesungen.