« Divisibility

Definition. Prime Number [0034]

A natural number is called pime if it has exactly two divisors. Hence .

Backlinks

Theorem. has integer solutions iff [001B]

Sei prim. Die Pellsche Gleichung hat ganzzahlige Loesungen genau dann wenn

Proof. ( ) Seien eine Loesung von . Dann ist

( ) TODO

Index. Mittelwerte Arithmetischer Funktionen [002Z]

Die Werteverteilungen arithmetischer Funktionen sind interessant, da sie Einblicke in Primfaktorzerlegung und Primzahlverteilung gewaeren.

Arithmetische Funktionen verhalten sich allerdings teils chaotisch. So nimmt z.B. die Teileranzahl fuer Primzahlen stehts , und fuer andere Zahlen sehr grosse Werte an. Die Funktion ist also nicht beschraenkt.

Untersuchungen auf einen Grenzwert sind dann hoffnungslos. Wir definieren deshalb das arithmetische Mittel.

Definition. Arithmetisches Mittel [003B]

Sei arithmetisch. Die durch

gegebene Funktion heisst das arithmetische Mittel von .

Sei beispielsweise , dann konvergiert gegen , auch wenn keinen Grenzwert hat.

Wir koennen also unter Umstaenden nach einem Grenzwert von fragen, auch wenn nicht konvergiert. Konvergiert bereits, dann sind die Grenzwerte die selben.

Proof. TODO

Definition. [003C]

Definition. Landau O-Notation [003D]

Seien zwei beliebige Funktionen. Wenn eine Konstante existiert, sodass

dann schreiben wir .

Theorem. Infinity of Primes [004X]

There are infinitely many primes.

Proof. Suppose are the only primes. Since has a prime factorization there exists with . But so must also divide . That is a contradiction.

Lemma. Euclid's Lemma [0050]

Let and prime with then or .

Proof. We only need to show the case where . Because is prime, it has exactly the divisors . does not divide so their only common divisor is . Thus . We are done by applying this corollary.