Index. Mittelwerte Arithmetischer Funktionen [002Z]
Die Werteverteilungen arithmetischer Funktionen sind interessant, da sie Einblicke in Primfaktorzerlegung und Primzahlverteilung gewaeren.
Arithmetische Funktionen verhalten sich allerdings teils chaotisch. So nimmt z.B. die Teileranzahl fuer Primzahlen stehts
, und fuer andere Zahlen sehr grosse Werte
an. Die Funktion ist also nicht beschraenkt.
Untersuchungen auf einen Grenzwert sind dann hoffnungslos. Wir definieren deshalb das arithmetische Mittel .
Definition. Arithmetisches Mittel [003B]
Sei
arithmetisch . Die durch
gegebene Funktion heisst das arithmetische Mittel von
.
Sei beispielsweise
, dann konvergiert
gegen
, auch wenn
keinen Grenzwert hat.
Wir koennen also unter Umstaenden nach einem Grenzwert von
fragen, auch wenn
nicht konvergiert. Konvergiert
bereits, dann sind die Grenzwerte die selben.
Proof . TODO
Definition. Landau O-Notation [003D]
Seien
zwei beliebige Funktionen. Wenn eine Konstante
existiert, sodass
dann schreiben wir
.