Sei eine ganze Zahl. Eine natuerliche Zahl heisst Teiler von , falls

Wir schreiben dann (d teilt n). Wir bezeichnen die Menge aller Teiler mit Wir schreiben fuer die Anzahl der Teiler.

Eine natuerliche Zahl heisst Primzahl wenn sie genau zwei Teiler hat. Also

Seien , ganze Zahlen. Sind nicht beide , dann ist die Menge der gemeinsamen Teiler endlich und nicht leer. Wir nennen

dann den groessten gemeinsamen Teiler von und .

Der Euklische Algorithmus berechnet den ggT zweier ganzer Zahlen

Eine Implementierung in Python:

def ggt(a,b):
    r = a % b
    if r == 0:
        return b
    return ggt(b,r)

Zwei natuerliche Zahlen heissen teilerfremd, wenn ihr groesster gemeinsamer Teiler 1 ist.

Seien natuerliche Zahlen. Es gibt ganze Zahlen sodass der groesster gemeinsamer Teiler .

Proof. Euklidischer Algorithmus.

Seien mit und . Dann gilt .

Proof. Aus diesem Lemma folgt, dass wir ganze Zahlen mit finden. Wir erhalten

Es gilt und also .

Eine Gleichung der Form

mit gegebenem nennen wir Pellsche Gleichung.

TODO!

Falls , dann sind die Loesungen gegeben durch die Diophanitsche Gleichung .

Sind nicht alle von a,b,c 0, dann koennen wir ueber koordinatentransformation annehmen, dass . Durch Quadratische Ergaenzung und eine weiter Transformation erhaelt man dann eine Gleichung der Form

Wir muessen dann nur noch diese Gleichung auf Loesungen untersuchen.

[Quadratisches Reziprozitaetsgesetz] [Pellsche Gleichung]

heisst artihmetische Funktion. Arithmetische Funktionen sind also komplexe Folgen.

Eine arithmetische Funktion heisst multiplikativ, wenn

Ist , dann heisst vollstaendig multiplikativ.

Seien arithmetische Funktionen. Wir nennen

die Dirichlet-Faltung von und .

Die Moebius-Funktion ist die arithmetische Funktion gegeben durch

Die Moebius-Funktion ist bzgl Dirichlet-Faltung invers zur Eins.

Proof. TODO

Sei arithmetisch. Die durch

gegebene Funktion heisst das arithmetische Mittel von .

Seien zwei beliebige Funktionen. Wenn eine Konstante existiert, sodass

dann schreiben wir .

Wir notieren binaere quadratische Formen der Form

mit .

Zu einer binaere quadratische Formen definieren wir die Diskrimante als

Zwei binaere quadratische Formen heissen ganzzahlig aequivalent, wenn es eine Koordinatentransformation in der Modulgruppe gibt, sodass

Binaere quadratische Formen der Form heissen primitiv, wenn

Zwei ganzzahlig aequivalente binaere quadratische Formen und haben die selbe Diskriminante und .

Proof. TODO

Eine binaere quadratische Form nennen wir reduziert, wenn gilt

Wir notieren die Anzahl der primitiven Aequivalenzklassen von Formen mit Diskriminante mit . Wir nennen die Klassenzahl von .

Die Menge der Automorphismen einer quadratischen Form nennen wir

Die Automorphismengruppe ist eine Untergruppe der Modulgruppe.

Sei eine Diskriminante und kein Quadrat, nach Definition und nach Definition.

Wir definieren

Das Bild von ist eine Gruppe unter der Multiplikation in .

Proof. TODO

(Inversenbildung) Sei . Dann ist auch .

(Multiplikation)