Sei im folgenden . Ein paar Ueberlegungen vorab: Fuer definieren wir . Wir bemerken, dass fuer beliebige gilt mit der Multiplikation aus .

Interessant ist, dass , genau dann wenn eine Einheit ist. Denn ist fuer ein , dann

Sei umgekehrt und , dann betrachte . Dann ist , also ist eine Einheit.

1. und sind irreduzibel in . Proof. Wir versuchen als Produkt von nicht-Einheiten zu schreiben, und betrachten dafuer . Jetzt nutzen wir, dass multiplikativ ist. kann wesentlich nur in und faktorisiert werden. Nur zweitere Faktorisierung kommt infrage, wir suchen also mit . Ist , muss sein, unmoeglich. Ist , dann ist , also ist irreduzibel. Es ist und , dann verwenden wir ein analoges Argument.
2. ist kein Hauptidealring. Proof. Es ist , also ist nicht faktoriell, aber Hauptidealringe sind faktoriell, also ist kein Hauptidealring.

1. Sei ein kommutativer Ring mit Eins und . Es ist eine Einheit genau dann, wenn eine Einheit ist. Proof. ( ) Ist eine Einheit, dann gibt es mit , also ist, fuer und , . Also ist eine Einheit in mit dem Inversen . ( ) Ist eine Einheit in , koennen wir die Koeffizienten von rekursiv definieren.

   Setze

   Fuer muessen alle Koeffizenten von fuer sein, also

   Diese Konstruktion ist wohldefiniert, denn jeder Koeffizient ist nur von vorherigen Koeffizienten abhaengig, also ist invertierbar.

2. fuer

Proof.