[007E]

Sei im folgenden . Ein paar Ueberlegungen vorab: Fuer definieren wir . Wir bemerken, dass fuer beliebige gilt mit der Multiplikation aus .

Interessant ist, dass , genau dann wenn eine Einheit ist. Denn ist fuer ein , dann

Sei umgekehrt und , dann betrachte . Dann ist , also ist eine Einheit.

1. und sind irreduzibel in . Proof. Wir versuchen als Produkt von nicht-Einheiten zu schreiben, und betrachten dafuer . Jetzt nutzen wir, dass multiplikativ ist. kann wesentlich nur in und faktorisiert werden. Nur zweitere Faktorisierung kommt infrage, wir suchen also mit . Ist , muss sein, unmoeglich. Ist , dann ist , also ist irreduzibel. Es ist und , dann verwenden wir ein analoges Argument.
2. ist kein Hauptidealring. Proof. Es ist , also ist nicht faktoriell, aber Hauptidealringe sind faktoriell, also ist kein Hauptidealring.