Theorem. Arithmetische Funktionen, die -te Faltungswurzeln haben [0025]

Sei eine arithmetische Funktion mit .

hat genau -te Faltungswurzeln.

Proof. Es gilt die Identitaet

Also ist genau dann wenn . Dieses Polynom vom Grad hat genau Loesungen in . Angenommen fuer alle ist bereits gegeben Dann ergeben sich die moeglichen als Loesungen von Gleichung 1 (mit ). in der Summe taucht dann in genau Summanden auf, naemlich an den Stellen, wo ein und die restlichen . Die Gleichung ist dann von der Form

wobei ein konstanter Term ist, der nur von abhaengt. Das Polynom von Grad 1 in der Variable , hat dann genau eine Loesung. Induktiv gibt es fuer also genau Loesungen.