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Definition. k-te Faltungswurzel [0022]

eine arithmetische Funktion mit der Eigenschaft

nennen wir k-te Faltungswurzel von . Es gilt

Backlinks

Theorem. Arithmetische Funktionen, die -te Faltungswurzeln haben [0025]

Sei eine arithmetische Funktion mit .

hat genau -te Faltungswurzeln.

Proof. Es gilt die Identitaet

Also ist genau dann wenn . Dieses Polynom vom Grad hat genau Loesungen in . Angenommen fuer alle ist bereits gegeben Dann ergeben sich die moeglichen als Loesungen von Gleichung 1 (mit ). in der Summe taucht dann in genau Summanden auf, naemlich an den Stellen, wo ein und die restlichen . Die Gleichung ist dann von der Form

wobei ein konstanter Term ist, der nur von abhaengt. Das Polynom von Grad 1 in der Variable , hat dann genau eine Loesung. Induktiv gibt es fuer also genau Loesungen.

Theorem. Multiplikative arithmetische Funktionen mit haben genau eine multiplikative k-te Faltungswurzel [0028]

Sei eine multiplikative arithmetische Funktion. hat genau eine multiplikative k-te Faltungswurzel.

Proof. Falls , dann ist , also trivial. Sonst ist . Angenommen ist eine multiplikative k-te Faltungswurzel, dann ist , also ist nach eindeutig.

Angenommen , aber ist nicht multiplikativ . Dann

Betrachte nun

Wir koennen Gleichung 2 in der Summen-Darstellung aus dem ersten Teil schreiben. Fuer Zahlen kleiner als koennen wir Multiplikativitaet benutzen und erhalten nach einer langen Rechnung, die ich dem Leser erspare, dass

Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass nicht multiplikativ ist.