« Arithmetische Funktionen

Definition. multiplikative arithmetische Funktion [0015]

Eine arithmetische Funktion heisst multiplikativ, wenn

Ist , dann heisst vollstaendig multiplikativ.

Backlinks

Lemma. Faltungen multiplikativer Funktionen sind multiplikativ [001M]

Proof. Seien multiplikativ. Seien teilerfremd . Es gilt

Theorem. Multiplikative arithmetische Funktionen mit haben genau eine multiplikative k-te Faltungswurzel [0028]

Sei eine multiplikative arithmetische Funktion. hat genau eine multiplikative k-te Faltungswurzel.

Proof. Falls , dann ist , also trivial. Sonst ist . Angenommen ist eine multiplikative k-te Faltungswurzel, dann ist , also ist nach eindeutig.

Angenommen , aber ist nicht multiplikativ . Dann

Betrachte nun

Wir koennen Gleichung 2 in der Summen-Darstellung aus dem ersten Teil schreiben. Fuer Zahlen kleiner als koennen wir Multiplikativitaet benutzen und erhalten nach einer langen Rechnung, die ich dem Leser erspare, dass

Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass nicht multiplikativ ist.