« Root

Definition. Binaere quadratische Formen [003I]

Backlinks

Definition. Diskriminante einer quadratischen Form [003H]

Zu einer binaere quadratische Formen definieren wir die Diskrimante als

Definition. primitive binaere quadratische Formen [003L]

Binaere quadratische Formen der Form heissen primitiv, wenn

Definition. Ganzzahlig aequivalente binaere Quadratische Formen [003M]

Zwei binaere quadratische Formen heissen ganzzahlig aequivalent, wenn es eine Koordinatentransformation in der Modulgruppe gibt, sodass

Theorem. [003N]

Zwei ganzzahlig aequivalente binaere quadratische Formen und haben die selbe Diskriminante und .

Proof. TODO

Definition. Reduzierte Binaere Quadratische Form [003O]

Eine binaere quadratische Form nennen wir reduziert, wenn gilt

Definition. Klassenzahl [003P]

Wir notieren die Anzahl der primitiven Aequivalenzklassen von Formen mit Diskriminante mit . Wir nennen die Klassenzahl von .

Index. Automorphismen [003Q]

Wir moechten im folgenden die Loesungen einer binaeren quadratischen Form in Beziehung zu den Loesungen einer Pellschen Gleichung setzen.

Dafuer untersuchen wir Koordinatentransformationen , die fuer eine gegebene binaere quadratische Form

erfuellen.

Definition. Automorphismengruppe [003R]

Fuer eine gegebene quadratischen Form ist die Menge der Automorphismen in der Modulgruppe gegeben durch

Wir nennen diese Gruppe Automorphismengruppe.

Lemma. [003S]

Die Automorphismengruppe ist eine Untergruppe der Modulgruppe.

Theorem. [003W]

Sei eine Diskriminante und kein Quadrat, nach Definition und nach Definition.

Wir definieren

Das Bild von ist eine Gruppe unter der Multiplikation in .

Proof. TODO

(Inversenbildung) Sei . Dann ist auch .

(Multiplikation)

Definition. Automorphismengruppe [003R]

Fuer eine gegebene quadratischen Form ist die Menge der Automorphismen in der Modulgruppe gegeben durch

Wir nennen diese Gruppe Automorphismengruppe.

Defintion. aequivalente Loesungen einer binaeren Quadratischen Gleichung [004C]

Fuer eine gegebene bineare quadratische Form definieren wir fuer die Gleichung

zwei Loesungen aequivalent, wenn TODO

Definition. Darstellbar durch eine binaere quadratische Form [004F]

Eine natuerliche Zahl heisst bezueglich einer binaeren quadratischen Form darstellbar, wenn eine Loesung in hat. Gibt es eine loesung mit teilerfremden und , heisst primitiv darstellbar.

Definition. Primitiv darstellbar durch eine binaere quadratische Form [004G]

Eine natuerliche Zahl heisst bezueglich einer binaeren quadratischen Form darstellbar, wenn eine Loesung in hat.